YKS AYT · Matematik · Konu 2/6
Türev ve Uygulamaları
Özet
Türev, bir fonksiyonun anlık değişim hızıdır. AYT'de kurallarla türev alma, teğet eğimi, artan-azalan aralıklar ve ekstremum problemleri sorulur.
Kavramlar
Türevin anlamı
f'(a), x = a noktasındaki teğetin eğimidir.
Artan-azalan
f'(x) > 0 olan aralıkta f artan, f'(x) < 0 olan aralıkta azalandır.
Ekstremum
f'(a) = 0 ve türev işaret değiştiriyorsa a'da yerel ekstremum vardır.
Kurallar ve formüller
- (xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹ · (f·g)' = f'g + fg' · (f/g)' = (f'g − fg')/g²
- Zincir kuralı: (f(g(x)))' = f'(g(x)) · g'(x)
Çözümlü örnekler
1f(x) = x³ − 3x fonksiyonunun yerel maksimum noktasının apsisi kaçtır?
Çözümü göster
f'(x) = 3x² − 3 = 0 → x = ±1. Türev x < −1'de pozitif, −1 < x < 1'de negatif; x = −1'de yerel maksimum vardır.
Sık yapılan hatalar
- f'(a) = 0 olan her noktayı ekstremum saymak; f(x) = x³ için x = 0'da türev sıfırdır ama ekstremum yoktur.
- Bölümün türevinde paydaki işaret sırasını karıştırmak.
Püf noktası
Ekstremum sorusunda türevin işaret tablosunu çiz; tablo olmadan maksimum ile minimumu karıştırmak çok kolaydır.
Mini test
Konuyu bitirdiysen kendini sına: süreli kısa bir test, sonunda doğru-yanlış-boş dökümü ve çözümler.