Plimpton 322: Babil matematiği ve Pisagor üçlüleri

New York'taki Columbia Üniversitesi'nin bir kütüphane koleksiyonunda, avuç içinden biraz büyük, bir kenarı kırık bir kil tablet duruyor. Üzerinde, sütunlar halinde dizilmiş sayılar var. Tabletin adı Plimpton 322. Bu tablet, matematik tarihinin en çok tartışılan eserlerinden biri. Çünkü üzerindeki sayılar, bugün "Pisagor üçlüleri" dediğimiz, bir dik üçgenin kenar uzunluklarını veren sayılarla ilişkili görünüyor; ve tablet, Pisagor'dan yaklaşık bin yıl önce yazıldı.

Anunnaki tartışmalarında, Mezopotamya'nın matematik bilgisi sık sık "bu bilgi nereden geldi" sorusuyla birlikte anılıyor. Plimpton 322, bu sorunun en çok gösterilen örneklerinden biri. Ben burada, tabletin ne olduğunu, kimlerin onu nasıl okuduğunu ve bu okumaların neden hâlâ tartışıldığını anlatmak istiyorum.

Bir yayıncının koleksiyonundan

Tabletin adı, onu 1920'lerde satın alan New Yorklu yayıncı George Arthur Plimpton'dan geliyor. Plimpton, tableti, Irak'taki kazılara katılmış ve antika ticaretiyle uğraşan Edgar James Banks'ten aldı. Plimpton'un koleksiyonu, ölümünden sonra Columbia Üniversitesi'ne bağışlandı. "322", tabletin bu koleksiyondaki katalog numarası.

Tabletin nereden geldiği kesin olarak bilinmiyor; Banks'in bilgilerine göre güney Irak'taki Larsa kentinden çıkmış olabilir. Yazı biçimi, tabletin Eski Babil dönemine, yaklaşık MÖ on sekizinci yüzyıla ait olduğunu gösteriyor. Yani Hammurabi'nin ya da ondan biraz önceki kralların döneminde yazılmış.

Tabletin sol kenarı kırık. Bu kırık kısımda bir sütunun daha bulunduğu ve tabletin bir parçasının kaybolduğu düşünülüyor. Kırık kenarda, tabletin yapımında kullanılan modern bir yapıştırıcının izleri de görülüyor; bu, tabletin bir zamanlar başka bir parçayla birleştirilmiş olabileceğini düşündürüyor.

Altmışlık sayılar

Tableti okuyabilmek için önce Babil'in sayı sistemini bilmek gerekiyor. Babilliler, bizim on tabanlı sistemimiz yerine, altmış tabanlı bir sistem kullanıyordu. Bu sistemde, bir basamak altmışa kadar sayıyor, sonra bir üst basamağa geçiliyordu. Bugün bir saatin altmış dakika, bir dakikanın altmış saniye olması ve bir çemberin üç yüz altmış dereceye bölünmesi, bu sistemin bize ulaşan izleri.

Babil sayılarında bir sorun vardı: Sıfır işareti uzun süre kullanılmadı ve sayının virgülünün nerede olduğu, yani bir sayının bir mi, altmış mı, yoksa altmışta bir mi olduğu yazıda gösterilmiyordu. Okuyucu, bunu bağlamdan anlamak zorundaydı. Bu da Plimpton 322 gibi tabletlerin yorumunu zorlaştırıyor.

Tablette ne var?

Tablette dört sütun ve on beş satır var. Sütunların başlıkları, bazı işaretlerle yazılmış; bunlardan biri "köşegen" anlamına gelen bir sözcük. İkinci ve üçüncü sütunlar, bir dik üçgenin kısa kenarı ve hipotenüsü gibi okunabilecek sayılar içeriyor. Dördüncü sütun ise yalnızca satır numaralarını veriyor: birinci, ikinci, üçüncü ve böyle devam ediyor.

En sol sütun, yani kırık kenara en yakın sütun, bu iki sayının bir oranının karesine benzeyen değerleri içeriyor. Satırlar, bu değerlere göre düzenli olarak azalan bir sırayla dizilmiş. Bu düzen, tabletin rastgele bir sayı listesi değil, belirli bir yöntemle hesaplanmış bir tablo olduğunu gösteriyor.

Örneğin bir satırda, kısa kenar ve hipotenüs olarak 119 ve 169 sayıları var; bunlara karşılık gelen uzun kenar 120. Yani 119'un karesi ile 120'nin karesinin toplamı, 169'un karesine eşit. Bazı satırlarda ise çok daha büyük sayılar var; örneğin 12709 ve 18541. Bu sayıların rastgele denemelerle bulunması pek olası değil; bir yöntem kullanılmış olmalı.

Bu kadar büyük üçlüleri bulmak için hangi yöntemin kullanıldığını merak ediyor musunuz?

Neugebauer ve Sachs

Tabletin matematiksel önemini ilk ortaya koyanlar, 1945'te Otto Neugebauer ve Abraham Sachs oldu. Neugebauer, eski matematik ve astronomi üzerine çalışan önemli bir tarihçiydi. İkili, tabletin sayılarının Pisagor üçlüleri olduğunu ve bu üçlülerin belirli bir yöntemle üretildiğini gösterdi.

Bu buluş, Babil matematiğinin, Yunan matematiğinden çok önce, dik üçgenlerin kenarları arasındaki ilişkiyi bildiğini gösteriyordu. Ancak Babillilerin bu ilişkiyi bir teorem olarak kanıtladığına dair bir iz yok. Onlar, ilişkiyi biliyor ve hesaplarda kullanıyordu; ama Yunan matematiğindeki gibi bir kanıt geleneği, Babil metinlerinde görülmüyor.

Trigonometri mi, öğretmen kitabı mı?

Tabletin ne için yazıldığı, hâlâ tartışılıyor. 2017'de Avustralyalı matematikçiler Daniel Mansfield ve Norman Wildberger, tabletin bir trigonometri tablosu olduğunu, hatta bugünkü trigonometriden daha kesin bir yöntem kullandığını öne süren bir makale yayımladı. Bu iddia, büyük medya ilgisi gördü.

Ancak birçok matematik tarihçisi bu yoruma karşı çıktı. Özellikle Eleanor Robson, 2001'de yayımladığı bir çalışmada, tabletin bir öğretmenin öğrencilere problem hazırlamak için kullandığı bir yardımcı tablo olabileceğini öne sürmüştü. Robson'a göre, tabletteki sayılar, Babil matematiğinde sık kullanılan "ters sayı çiftleri" yöntemiyle üretilmişti. Bu yöntem, bir sayının ve onun tersinin, yani bir bölü o sayının, belirli bir biçimde kullanılmasına dayanıyordu.

Robson'ın yorumu, tableti Eski Babil kâtip okullarının dünyasına yerleştiriyor. Bu okullarda öğrenciler, alan hesapları, inşaat problemleri ve tarla ölçümleri üzerine çalışıyordu. Plimpton 322, bu dünyada, öğretmenin elinde, öğrencilere sayılarla uğraşacakları problemler hazırlamak için kullanılan bir araç olabilirdi.

Kâtip okulunda bir gün

Eski Babil döneminin kâtip okulları, Sümerce "eduba", yani "tablet evi" adıyla anılıyordu. Ur ve Nippur'da yapılan kazılarda, bu okulların kullanıldığı evler bulundu; içlerinde öğrenci alıştırmalarıyla dolu tabletler vardı. Öğrenciler, önce işaret yazmayı, sonra sözcük listelerini, ardından da matematik tablolarını kopyalayarak öğreniyordu.

Matematik eğitimi, çarpım tabloları ve ters sayı tablolarıyla başlıyordu. Ardından öğrenciler, kanal kazma, tuğla sayma, tarla bölme ve tahıl dağıtma gibi günlük yaşamdan alınmış problemleri çözüyordu. Bazı problemler ise pratik bir amaçtan çok, öğrencinin becerisini sınamak için hazırlanmış bulmacalara benziyordu.

Sümerce okul metinlerinde, öğrencilerin okulda yaşadıklarını anlatan hikâyeler de var. Bir metinde, geç kalan ya da hatalı yazan bir öğrencinin öğretmen tarafından dövüldüğü, sonra ailesinin öğretmeni eve davet edip ona hediyeler verdiği anlatılıyor. Bu metinler, okulların sert bir disiplinle yönetildiğini gösteriyor.

Plimpton 322'yi bu sınıflardan birinin içinde, bir öğretmenin elinde düşünmek, size tableti daha mı yakın kılıyor, yoksa onun gizemini mi azaltıyor?

Akademik okuma

Akademik çevrelerde, Plimpton 322'nin bir trigonometri tablosu olduğu iddiası, çoğunlukla aşırı bir yorum olarak görülüyor. Babil matematiğinde açı kavramı, bugünkü trigonometrideki gibi kullanılmıyordu. Tablet, bir dik üçgenin kenarlarıyla ilgili bir bilgi taşıyor; ama bu bilginin trigonometrik bir amaçla kullanıldığına dair başka bir kanıt yok.

Babil matematiğinin başka örnekleri de bu yorumları destekliyor. Yale Üniversitesi'nin koleksiyonundaki YBC 7289 adlı küçük, yuvarlak bir tablet, bir karenin köşegenini ve ikinin karekökünü, altmışlık sistemde dört basamaklı bir kesinlikle veriyor. Bu da Babil kâtiplerinin, köşegen ve kenar arasındaki ilişkiyi bildiklerini ve hesaplarda kullandıklarını gösteriyor.

Sitchin'in okuması

Sitchin, Babil matematiğinin altmışlık sistemini, Anunnaki'nin bir mirası olarak yorumladı. Ona göre altmış sayısı, Anu'nun kutsal sayısıydı ve tanrıların sayısal sırası, altmıştan başlayarak aşağıya doğru iniyordu: Anu altmış, Enlil elli, Ea kırk, Sin otuz ve benzeri. Bu sayısal sıra, gerçekten de Mezopotamya metinlerinde geçen bir gelenek.

Ancak bu sayısal sıranın, Babil matematiğinin kökenini açıkladığı söylenemez. Altmışlık sistemin, ölçü birimlerinin ve ağırlıkların birleştirilmesiyle, uzun bir süreçte geliştiği düşünülüyor. Altmış, ikiye, üçe, dörde, beşe ve altıya bölünebilen bir sayı; bu da onu kesirlerle hesap yapmak için çok kullanışlı kılıyor.

Forumlarda

Forumlarda Plimpton 322, genellikle "Pisagor'u Babil'den çaldı" başlıklarıyla tartışılıyor. Bazı kullanıcılar, Yunan matematiğinin Babil'den kopyalandığını, bazıları ise Babil'in bu bilgiyi Anunnaki'den aldığını öne sürüyor. Eleştirel kullanıcılar, Yunan matematiğinin kanıt geleneğinin Babil'de bulunmadığını, iki geleneğin farklı biçimlerde geliştiğini hatırlatıyor.

2017'deki trigonometri haberleri de forumlarda büyük yankı uyandırdı. Bu haberler, çoğu zaman, akademik tartışmanın ayrıntılarına girmeden, "Babilliler bizden ileriydi" başlıklarıyla paylaşıldı.

SohbeX teorisi

Spekülasyon olarak okuyun. Bana öyle geliyor ki Plimpton 322'nin en ilginç yanı, onun bir öğretmenin elinden çıkmış olabileceği ihtimali. Bir kâtip okulunda, bir öğretmenin öğrencileri için sayı üçlüleri hazırladığını düşünün. Öğrenciler bu sayılarla problemler çözüyor, öğretmen de doğru yanıtları kontrol ediyor.

Belki de bu tablet, dâhice bir buluşun değil, sabırlı bir öğretimin belgesi. Babil matematiği, tanrılardan inen bir sır olarak değil, sınıflarda, hatalarla ve düzeltmelerle, kuşaktan kuşağa aktarılan bir beceri olarak gelişti.

Bu bir yorum; kesin bir bilgi değil.

Size soru

Plimpton 322'yi bir trigonometri tablosu olarak mı, yoksa bir öğretmenin yardımcı tablosu olarak mı görüyorsunuz? Babil'in altmışlık sisteminin bugün saatlerimizde ve açılarımızda yaşaması size ne düşündürüyor? Matematik bilgisinin kökenini tartışırken, kanıt ve hesap arasındaki farkı ne kadar önemli buluyorsunuz? Yorumlarda yazın.